درباره عدد خوانی:  تعداد انگشتان انسان موجب شد تا عدد 10 مبنایی برای شمردن دستگاه دهدهی باشد.

 

عددهای صحیح مثبت را عددهای طبیعی میگویند عددهای طبیعی پایانی ندارند.

 

بزرگترین عدد طبیعی نامگذاری شده   سنتلیون نام دارد.

 

شمارش یونانی:

 

10              9              8              7            6         5           4          3          2          1

 

دکا           ننا               اکتا            هپتا         هگزا     پنتا         تترا        تری        دی        منو

 

اعداد طبیعی :اعداد صحیح بزرگتر از صفر را اعداد طبیعی گویند.

 

N = {1, 2, 3, 4, 5,…..}

 

اعداد صحیح :

 

مجموعه اعداد مثبت و منفی صحیح را اعداد صحیح نامند.

 

Z = {…,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3,…}

 

اعداد اعشاری :  5/71  و 14/3

 

اعداد اول : هر عدد طبیعی بزرگتر از 1 که غیر از خودش و 1 مقسوم علیه دیگری نداشته باشد، عدد اول نامیده می شود.. 2, 3 , 5 , 7 اعداد اول کوچکتر از 10 هستند.

 

P = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,……}

 

عدد اول ( Prime number ): با توجه به شکل های بالا می توان گفت که عدد 5 عددی اول و عددهای 10 , 12 , 20 عدد اول نمی باشند.

 

اعداد مثبت : کلیه اعداد بزرگتر از صفر اعداد مثبت هستند.   5 و 1

 

اعداد منفی : کلیه اعداد کوچکتر از صفر اعداد منفی هستند.   -6 , -3

 

{...،8،6،4،2} مجموعه اعدادزوج(طبیعی)

 

{...5،،3،1} مجموعه اعدادفرد (طبیعی)

 

{...4،3،2،1،0} مجموعه اعدادحسابی –این اعداد نا متناهی هستند . یعنی هر چقدر ادامه دهیم باز عددی هست.

 

مهمترین بخش در این اعداد ارزش مکانی است که به آن مرتبه عدد می گوییم.

 

هزار

 

میلیون

 

میلیارد

 

بیلیون

 

تریلیون

 

کوادریلیون

 

کوینتیلیون

 

سیکستیلیون

 

سپتیلیون

 

1

 

برای تعیین عددهای یک مجموعه ی عددی متوالی که اعداد ابتدا و انتهای آن مشخص می شود .

 

الف ) اگر از عدد ابتدا تا عدد انتها مورد نطر باشد ( اعداد ابتدا و انتها جزء مجموعه ی عددی باشند ) از فرمول زیر استفاده می شود. 1 + ( عدد ابتدا - عدد انتها ) = تعداد اعداد

 

 مثال .....> از عدد 97 تا عدد 2056 چند عدد داریم ؟              1960 = 1 + ( 97 - 2056)

 

ب ) اگر تعداد اعداد بین دو عدد ابتدا و انتها مورد نظر باشد (اعداد ابتدا و انتها جزء مجموعه ی عددی نباشند ) 1 - ( عدد ابتداــــ عدد انتها ) = تعداد اعداد

 

 مثال : بین اعداد 97 تا 2056 چند عدد داریم ؟                1958 = 1 - ( 97 - 2056 )

 

2

 

برای جمع بستن اعداد متوالی از روش زیر استفاده می کنیم  ؟   2÷تعداد اعداد×(عدد آخر+عدد اول)

 

مثال: اگر تمام اعداد از 1 تا 20 را جمع کنیم ، حاصل جمع را حساب کنید.  جواب:  210=2÷ 20×(20+1)

 

-برای به دست آوردن تعداد اعداد متولی(پشت سر هم)  راه حل زیر مناسب است.

 

1+فاصله÷(عدد اول – عدد آخر)    مثال: از عدد 10 تا 20 چند عدد به کار رفته است؟ 11=1+1÷(10-20)

 

برای شماره گذاری صفحات کتاب از روش زیر استفاده می شود:

 

برای اعداد یک رقمی:  1-1×(1+صفحه)                 برای اعداد دو رقمی:  11-2×(1+صفحه)

 

برای اعداد سه رقمی:  111-3×(1+صفحه)

 

مثال: کتابی 160 صفحه دارد. برای شماره گذاری این کتاب چند رقم به کار رفته است؟ جواب: 372=111-3×(1+160)

 

*کوچکترین عدد با استفاده از ده رقم بدون تکرار رقمها 9 8 7 6 5 4 3 2 10

 

*بزرگترین عدد با استفاده از ده رقم بدون تکرار رقمها 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

 

3

 

تعداد اعداد یک رقمی یک تا 9 چند تاست؟                    9 تا

 

تعداد اعداد دو رقمی 10تا 99 چند تاست؟                  90 تا                               90 =  9 -99

 

تعداد اعدادسه رقمی 100 تا 999 چند تاست؟            900 تا                     900 =  (9+90)-999

 

تعداد اعدادچهار رقمی 1000 تا 9999 چند تاست؟    9000  تا         0 900 =  (9+90+900)-9999

 

(نکته:رقم 9 را که تعداد عددهای یک رقمی است نوشته و تعداد صفر را جلوی آن می گذاریم که می شود چهار رقم یا سه رقم)

 

 و به همین ترتیب اعداد پنج رقمی و شش رقمی و.... با روش بالا به دست می آید.

 

4

 

برای شماره گذاری صفحه های کتاب :

 

مثال: کتابی 99 صفحه دارد 9 صفحه ی آن با اعداد یک رقمی و 90 صفحه ی آن با اعداد دو رقمی صفحه بندی می شود، پس:   189 رقم به کار رفته است.                  189=180+9=(2×90)+9              

 

5

 

کتابی دارای 450 صفحه است در صفحه بندی این کتاب چند رقم به کار رفته است؟

 

 351صفحه از کتاب اعداد سه رقمی است.                                                 351=(9+90)-450

 

پس   :                                                        1242=1053+180+9=(3×351)+(2×90)+9

 

6

 

روش نوشتن اعداد چند رقمی با رقم های داده شده:

 

مثال با رقم های «5و6و3و9» چند عدد دو رقمی می توان نوشت؟

 

چون عددهای دور قمی دارای مرتبه های یکان و دهگان می باشند پس هر یک یک بار در یکان و دهگان قرارمی گیرند و چون چها ررقم داریم پس هر رقم چهار بار در یکان و چهار بار در دهگان قرار می گیرند.

 

رقم 5در یکان →

 

55

 

65

 

35

 

95

 

رقم 6 در یکان →

 

56

 

66

 

36

 

96

 

رقم 3 در یکان →

 

53

 

63

 

33

 

93

 

رقم 9 در یکان →

 

59

 

69

 

39

 

99

 

                                                  رقم5 در دهگان            رقم 6در دهگان          رقم 3 در دهگان           رقم 9 در دهگان

 

پس 16 عدد دو رقمی می توان نوشت.              16      =        4                 ×        4

 

                                                                       تعداد دفعاتی که هر رقم               تعداد دفعاتی که هر رقم

 

                                                                        در یکان قرار می گیرد.            در دهگان قرار می گیرد.

 

با رقم های بالا چند عدد سه رقمی می توان نوشت؟

 

 64           =        4          ×         4         ×          4

 

در هر ردیف یک عدد با رقم ها ی تکراری نوشته شده پس:                                      12=4-16

 

با چهار رقم «5و6 و 3 و9 »     12 عدد بدون تکراررقم ها می توان نوشت.

 

برای بدست آوردن تعداد عددها بدون تکرار رقمها ، از بالا ترین مرتبه تعداد رقمها را قرار می دهیم و در هر مرحله به ترتیب یک واحد از تعداد رقمها کم می کنیم.

 

مثال: سوال: بارقمهای( 7-3-4-6 )چند عدد سه رقمی بدون تکرار رقمها می توان نوشت؟

 

                                    یکان     دهگان     صدگان

 

                          24  =    2     ×   3      ×     4

 

سوال: با رقمهای (6-0-5-2-7 )چند عدد سه رقمی بدون تکراررقمها می توان نوشت؟

 

         یکان    دهگان    صدگان

 

   48 = 3   ×    4      ×   4      زیرا در بین رقمهای داده شده رقم صفر وجود داردکه این رقم درتعداد رقمهای سمت چپ عدد محسوب نمی شود.

 

اگر در عدد های خواسته شده ،زوج یا فرد بودن در نظر گرفته شده باشد فقط رقمهای زوج یا فرد در تعداد رقمهای سمت چپ (یکان) محسوب می شود.

 

مثال :با رقمهای (3-0-6-9-2 )چند عدد سه رقمی فرد می توان نوشت ؟ ( 3 و 9 ) فرد هستند.

 

                    یکان      دهگان       صدگان

 

            40 =   2    ×      5    ×       4

 

7

 

 معدل سه عدد متوالی فرد برابر عدد فرداست.                        عدد وسط=تعداد  اعداد÷مجموع اعداد

 

حاصل جمع دو عدد فرد همواره عدد زوج است.

 

8

 

 - مجموع چند عدد متوالی را چگونه بدست می آوریم؟    2 ÷ تعداد × (آخرین عدد + اولین عدد فرد)

 

مثلا مجموع عددهای یک تا 15                                          120  =2÷15×(15+1)

 

9

 

مجموع اعداد زوج را چگونه بدست می آوریم؟   4 ÷ تعداد × (آخرین عدد زوج+ اولین عدد زوج)

 

مثلا    اعداد زوج یک تا 12 را بدست آورید              42 = 4÷12 ×(12+2)

 

10

 

مجموع اعداد فرد را چگونه بدست می آوریم؟              4 ÷ تعداد × (آخرین عدد فرد+ اولین عدد فرد)

 

مثلا    اعداد فرد یک تا 50 را بدست آورید                         25  6  =4÷50 ×(49+1)                                                                                                                                                                          

 

نکته: اسم فرد و زوج آمد تقسیم بر 4 می کنیم.

 

نکته:(مجموع دو عدد – اختلاف دو عدد ) ÷ 2 = عدد کوچکتر

 

مثلا: مجموع دو عدد 10 و اختلاف آن ها 6 است . عدد کوچک کدام است؟     2 =  2 ÷  4  =6-10

 

11

 

(مجموع دو عدد + اختلاف دو عدد ) ÷ 2 = عدد بزرگتر

 

12

 

تعداد عددهای 4 رقمی این طور حساب می شود:                       9000=999-9999

 

13

 

مجموع 5 عدد زوج متوالی 520 واحد است عدد سوم از سمت چپ کدام است؟       104   =5÷520

 

108-106-104-102-100

 

14

 

مجموع ارقام 1 تا 40                                              820=2÷40×(40+1)

 

15

 

حاصل جمع کمتر از 31                465=2÷ 30 ×(1+30)

 

نکته: اگر اعداد از 1 شروع نشود این طور محاسبه می شود.

 

16

 

مجموع اعداد 21 تا 100                                     5050=2÷100×(1+100)

 

                               4840 =210  - 5050                           210=2÷20×(1+20)

 

17

 

حاصل جمع زوج 25 تا 100                                  156 =4÷ 24× (24+2)

 

                      2394=156-2550                          2550=4÷100×(100+2)

 

18

 

مجموع عددهای فرد 20 تا 60                                                        900=4÷60×(59+1)

 

             800       =    100   -    900                                    100=4÷20×(19+1)

 

19

 

معدل سه عدد متوالی فرد برابر عدد فرداست.مجموع اعداد را بر تعداد اعداد تقسیم می کنیم عدد وسط به دست می آید.    مثلا : مجموع 3 عدد فرد متوالی 105 است هر یک از عدد چقدر است؟                                                                                                      37 -35-33                                    35=3÷105

 

20

 

حاصل جمع دو عدد فرد متوالی همواره عدد زوج است.مثال:        64=33+31              8   =   5+3

 

21

 

مجموع 4 عدد فرد متوالی  40 است عدد دوم چند است؟    عدد وسط= تعداد اعداد÷ مجموع اعداد

 

                    مجموع40 است 40 =(13-11-9-7 )                      10=4÷ 40

 

  انواع خط :

 

خط راست :

 

خط شکسته :

 

 

 

خط خمیده :

 

 

 

خط باز :

 

خط بسته :

 

22

 

پاره خط :                    ?ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ?

 

خطوط متقاطع :

 

هر گاه دو خط یک نقطه همدیگر را قطع کنند آن دو خطرا متقاطع گویند.

 

دو خط به دو شکل همدیگر را قطع می کنند :

 

الف- به صورت عمود –که 4 زا ویه قائمه می سازند.

 

ب- به صورت مایل: 2 زاویه باز و 2 زاویه تند می سازند.

 

نیم ساز : نیم خطی که زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند را نیمساز زاویه گویند.

 

دو خط عمود بر هم : دو خط که زاویه بین آنها راست یا 900 باشد دو خط عمود بر هم هستند.

 

 

عمود منصف : عمود منصف خطی است که هم عمود بر پاره خط بوده و هم آن را نصف کرده باشد

 

 

-تعداد پاره خط موجود در یک شکل:   2÷ (تعداد فاصله×تعداد نقطه)

 

مثال:در شکل مقابل چند پاره خط وجود دارد؟6=2÷(4×3)

 

 

اعداد بخش پذیری بر اعداد طبیعی

 

 

قاعده تقسیم بر 1 :  همه ی اعداد بر یک بخش پذیر هستند.

 

  مقسوم علیه های یک عدد: هر عدد طبیعی بر تعدادی از عددها بخشپذیر است که مقسوم علیه های آن عدد می باشند.

 

 مثال: عدد 20 بر عددهای 1 , 2, 4 , 5 , 10 , 20 بخشپذیر است، پس:

 

 {20, 10, 5, 4, 2, 1} = مجموعه مقسوم علیه های عدد 20

 

23

 

قاعده تقسیم بر 2 :عددی بر 2 بخش پذیر است که رقم یکانش بر 2 بخش پذیر باشد. باقی مانده تقسیم هرعدد بر 2 باقی مانده تقسیم رقم یکان عدد بر 2 است.   مثال- همه ی اعداد زوج بر 2 بخش پذیر هستند.

 

24

 

  قاعده تقسیم بر 3 :عددی بر 3 بخش پذیر است که مجموع ارقامش بر 3 بخش پذیر باشد. باقی مانده ی تقسیم عدد بر 3 همان باقی مانده تقسیم مجموع ارقام آن عدد بر 3 است.

 

مثال- مجموع رقم های عدد 7512 برابر 15 است و 15 بر 3 بخش پذیر می باشد، بنابراین عدد7512 بر 3 بخش پذیر است.

 

25

 

قاعده تقسیم بر 4 :الف) عددی بر 4 بخش پذیر است که دو رقم سمت راست آن بر4 بخش پذیر باشند. باقی مانده تقسیم هر عدد بر 4 مساوی باقی مانده تقسیم دو رقم سمت راست آن عدد بر4 .

 

مثال- عدد 5248 بر 4 بخش پذیر است. زیرا 48 بر 4 بخش پذیر است.

 

ب)عددی بر4 بخش پذیر است که رقم یکان به اضافه ی 2 برابر رقم دهگان آن بر 4 بخش پذیر باشد.

 

مثال- عدد 1568 بر 4 بخش پذیر است. زیرا 20 = (6×2)+8 و 20 بر 4 بخش پذیر می باشد.

 

26

 

قاعده تقسیم بر 5 :عددی بر5بخش پذیر است که رقم یکانش بر5 بخش پذیر باشد.باقی مانده تقسیم هرعدد بر5 باقی مانده تقسیم رقم یکان عدد بر 5 است. پس عددی بر 5 بخش پذیر است که رقم یکن آن 0 یا 5 باشد  مثال- اعداد 65،  240 و 800  بر5 بخش پذیر هستند.

 

27

 

قاعده تقسیم بر 6 : الف )عددی بر 6 بخش پذیر است که هم بر2 و هم بر3 بخش پذیر باشد. 6=(3×2)

 

مثال- عدد 132 هم بر 2 و هم بر 3 بخش پذیراست. پس بر6 نیز بخش پذیر است.

 

ب ) عددی بر 6 بخش بذیر است که اگر رقم یکان آن را با چهار برابر مجموع بقیه ی ارقامش جمع کنیم حاصل جمع بر 6 بخش پذیر باشد.

 

مثال- عدد 141084 بر 6 بخش پذیر است. زیرا:  60=(8+0+1+4+1)4+4

 

عدد 60 بر 6 بخش پذیر است لذا عدد 141084 نیز بر 6 بخش پذیر است.

 

28

 

قاعده تقسیم بر 7 :عددی بر 7 بخش پذیر است که اگر 2 برابر رقم یکان آن را از عددی که از حذف یکان به دست آمده کم کنیم، حاصل بر7 بخش پذیر باشد.(در صورت لزوم این عمل را چندین بار تکرار می کنیم تا به نتیجه برسیم.)

 

مثال- عدد 5194 بر 7 بخش پذیر است. زیرا:         (8=2×4)                               5194  

 

                   49=2-51                                 (2=2×1)                     511=8-519 

 

          49 مضربی از 7 است. بنابراین5194 بر 7 بخش پذیر است.

 

29

 

قاعده تقسیم بر 8 :الف) عددی بر8  بخش پذیر است که سه رقم سمت راست آن بر 8 بخش پذیر باشد.مثال- اعداد 45000 و70656 بر 8 بخش پذیرهستند. زیرا سه رقم سمت راست آن ها یعنی صفر و656 بر 8 بخش پذیرهستند.

 

ب) عددی بر8 بخش پذیر است که رقم یکان آن به اضافه ی 2 برابررقم دهگان به اضافه ی 4 برابر رقم صدگان آن بر 8 بخش پذیر باشد.

 

مثال- عدد 65328 بر8 بخش پذیر است. زیرا 24=(3×4)+(2×2)+8  و 24 بر 8 بخش پذیر می باشد.

 

30

 

قاعده تقسیم بر 9 :عددی بر 9 بخش پذیراست که مجموع ارقامش بر9 بخش پذیر باشد. باقی مانده تقسیم عدد بر9 همان باقی مانده تقسیم مجموع ارقام آن عدد بر9 است.

 

مثال- عدد 5148 بر 9 بخش پذیراست. زیرا مجموع رقم های آن یعنی 18 بر 9 بخش پذیر است.

 

31

 

قاعده تقسیم بر 10 :عددی بر 10 بخش پذیر است که رقم یکان آن صفر باشد.

 

مثال- اعداد 70  ، 1200 و  810  بر 10 بخش پذیر هستند.

 

32

 

قاعده تقسیم بر 11 :عددی بر 11 بخش پذیر است که اگر ارقام آن را یکی در میان به دو دسته تقسیم کنیم و مجموع ارقام هر دسته را به دست آوریم و سپس دو عدد به دست آمده را از هم کم کنیم عدد حاصل بر 11 بخش پذیر باشد. تفاوت دو جمع صفرباشد و یا مضربی از 11 باشد.

 

مثال-عدد 5240312 بر 11 بخش پذیر است زیرا: 14 = 2 + 3 + 4 + 5

 

11 = 3 -14                 3 = 1 + 0 + 2

 

33

 

قاعده تقسیم بر 12 :عددی بر 12 بخش پذیر است که هم بر 3 و هم بر4 بخش پذیر باشد.

 

مثال- اعداد 72 و  120  و 480 بر 12 بخش پذیر هستند.

 

34

 

قاعده تقسیم بر 13 :عددی بر 13 بخش پذیر است که اگر 4 برابر رقم یکان آن را با عددی که از حذف یکان به دست آمده جمع کنیم، حاصل بر 13 بخش پذیرباشد. (در صورت لزوم این عمل را چندین بار تکرار می کنیم تا به نتیجه برسیم.)

 

مثال- عدد 247 بر 13 بخش پذیر است. زیرا:        (28=7×4)                247   

 13=8+5                      (8=2×4)                 52=28+24

 

35

 

قاعده تقسیم بر 14 :عددی بر 14 بخش پذیر است که هم بر 2 و هم بر 7 بخش پذیر باشد.(14=7×2)

 

مثال- عدد 3542 هم بر 2 وهم بر7 بخش پذیر است. پس بر 14 نیز بخش پذیر است.

 

36

 

قاعده تقسیم بر 15 :عددی بر 15 بخش پذیر است که هم بر 3 و هم بر 5 بخش پذیر باشد. (15=5×3)

 

مثال- عدد 4350 هم بر 3 و هم بر 5 بخش پذیر است. پس بر 15 نیز بخش پذیر است.

 

37

 

قاعده تقسیم بر 16 :عددی بر 16 بخش پذیر است که چهار رقم سمت راست آن بر 16 بخش پذیر باشد

 

38

 

قاعده تقسیم بر 17 :عددی بر 17 بخش پذیر است که اگر رقم یکان آن را 5 برابر کنیم و آن را از عدد حاصل از حذف یکان عدد اولیه کم کنیم حاصل بر 17 بخش پذیر شود.

 

39

 

قاعده تقسیم بر 18 :عددی بر 18 بخش پذیر است که هم بر 9 و هم بر 2 بخش پذیر باشد.

 

40

 

قاعده تقسیم بر 19:عددی بر 19 بخش پذیر است که 2برابر یکان آن به اضافه بقیه ارقام آن بر9 1بخش پذیر باشد.

 

41

 

قاعده تقسیم بر 21 : عددی که هم بر 3 و هم بر 7 بخش پذیر باشد   .                   210-63

 

42

 

قاعده تقسیم بر 22 :  1-عددی بر 22 بخش پذیر است که هم بر2و هم بر11 بخش پذیر باشد . 2- رقم یکان زوج باشد و بر 11 بخش پذیر باشد.

 

43

 

 قاعده تقسیم بر 25 :اعدادی بر 25 بخش پذیرند که دو رقم سمت راست آن ها صفر باشد یا دو رقم سمت راست آن بر 25 بخش پذیر باشد.     1300 -23725

 

نکته : دو عدد متوالی حتما یکی فرد و یکی زوج باشد حاصل زوج است که بر 2 بخش پذیر است .

 

فرد × زوج=زوج

 

 

+ سلام دوست من وبلاگ بسیار خوبی داری

---